GITS-Teleco: Producto Vectorial

Sean dos vectores $\mathbf a$ y $\mathbf b$ en el espacio vectorial $\mathbb{R}^3$ . El producto vectorial entre $\mathbf a\,$ y $\mathbf b\,$ da como resultado un nuevo vector, $\mathbf c\,$ . Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:

El módulo de $\mathbf c\,$ está dado por

$c = a \, b \, \sin\theta$

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.

La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.

El producto vectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

${\mathbf a \times \mathbf b = {a} \, {b} \, {\sin}{\theta} \ \hat{\mathbf n}}$

donde $\hat{\mathbf n}$ es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.

Producto vectorial de dos vectores

Sean $\mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k$ y $\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k$ dos vectores concurrentes de $\mathbb{R}^3$ , el espacio afín tridimensional según la base anterior.

Se define el producto $\times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3$ , y se escribe $\mathbf u \times \mathbf v$ , como el vector:

$\mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf i - \begin{vmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf j + \begin{vmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{vmatrix} \mathbf k$

En el que

$\begin{vmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c$ , es el determinante de orden 2.

O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

$\mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k$

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de $\mathbf u \times \mathbf v$ es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.

La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:^{[cita requerida]}

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_yv_z-u_zv_y\\ u_zv_x-u_xv_z\\ u_xv_y-u_yv_x \end{bmatrix}$

Ejemplo

El producto vectorial de los vectores $\mathbf a = (2,0,1)$ y $\mathbf b = (1,-1,3)$ se calcula del siguiente modo:

$\mathbf a \times \mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{vmatrix}$

Expandiendo el determinante:

$\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{vmatrix} + \mathbf k \begin{vmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{vmatrix} = \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k$

Puede verificarse fácilmente que $\mathbf a \times \mathbf b$ es ortogonal a los vectores $\mathbf a$ y $\mathbf b$ efectuando el producto escalar y verificando que éste es nulo (condición de perpendicularidad de vectores).