Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar

la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio $r$ , el ángulo polar

ocolatitud θ y el azimut φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º

(de -π/2 a π/2radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida

el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenciones utilizadas

Convención estadounidense

Actualmente, el convenio usado en los EEUU es el mismo que el europeo. Para denotar el ángulo azimutal

se usa φ y para referirse al polar, latitud o colatitud se usa θ.

Convención no-estadounidense

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

θ la colatitud, de 0º a 180º
φ el azimuth, de 0º a 360º

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres

coordenadas son:

$0 \leq r <\infty\qquad 0\leq \theta\leq \pi\qquad 0\leq \varphi< 2\pi$

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de $r$ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí,

$r$ ; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con otros sistemas de coordenadas

Relación con las coordenadas cartesianas

Sobre los conjuntos abiertos: $U = \{(r,\theta,\varphi) | r>0, 0< \theta < \pi, 0\leq \varphi <2\pi\} \qquad \mbox{y} \qquad V = \{(x,y,z) | x^2+y^2+z^2>0 \}$

Existe una correspondencia unívoca $F:V\to U$ entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas

por las relaciones:

$r = \sqrt{x^2 + y^2+z^2}\qquad \theta= \begin{cases} \arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z>0 \\ \frac{\pi}{2} & z = 0 \\ \pi+\arctan\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right) & z<0 \end{cases} \qquad \varphi=\begin{cases} \arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x>0\mbox{ y } y>0 \mbox{ (1° Q)}\\ 2\pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right)& x>0 \mbox{ y } y<0 \mbox{ (4° Q)}\\ \frac{\pi}{2}\mbox{sgn}(y) & x = 0\\ \pi+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) & x<0 \mbox{ (2° y 3° Q)}\end{cases}$