Criterio de Leibniz para series alternadas

Series Alternadas de la forma $\sum a_n=\sum (-1)^n b_n$ pueden ser analizadas según el criterio de Leibniz.

Sea $\sum (-n)^n b_n$ una serie alternada, con $b_n \geq \forall n\in\mathbb{N}$ que verifica:

1. $b_n\geq b_{n+1} \forall n \in \mathbb{N}$ es decir, que sea decreciente [si no se cumple, no se puede determinar nada].
2. $lim_{n\to\infty} b_n =0$ [necesario $\forall$ serie convergente].

Si se verifica estas condiciones, se dice que la serie $\sum a_n=\sum (-1)^n b_n$ es convergente. 

Lo primero que tiene que venir a la cabeza cuando estudias series es lo siguiente: 

• ¿Son todos los términos no negativos o no positivos? $\Rightarrow$ usa criterios para series de ese tipo.
• ¿Es absolutamente convergente? $\Rightarrow$ la serie converge.
• ¿Se verifican las condiciones de Leibniz? $\Rightarrow$ la serie converge.

Un ejemplo es $\sum a_n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$. La serie de valores absolutos es $\sum \frac{1}{n}$ que es la serie armónica con p=1, que sabemos que no es convergente. Atendiendo a las condiciones de Leibniz tenemos:

1. $\displaystyle \frac{1}{n}$ es decreciente, ya que $\displaystyle \frac{1}{2}<\displaystyle \frac{1}{3}<\displaystyle \frac{1}{4}...$
2. $\lim_{a \to \infty} \displaystyle \frac{1}{n}=0$

Luego  $\sum a_n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ es convergente por el criterio de Leibniz.