Series Alternadas de la forma \(\sum a_n=\sum (-1)^n b_n\) pueden ser analizadas según el criterio de Leibniz.
Sea \(\sum (-n)^n b_n \) una serie alternada, con \(b_n \geq \forall n\in\mathbb{N}\) que verifica:
- \(b_n\geq b_{n+1} \forall n \in \mathbb{N}\) es decir, que sea decreciente [si no se cumple, no se puede determinar nada].
- \(lim_{n\to\infty} b_n =0\) [necesario \(\forall\) serie convergente].
Si se verifica estas condiciones, se dice que la serie \(\sum a_n=\sum (-1)^n b_n\) es convergente.
Lo primero que tiene que venir a la cabeza cuando estudias series es lo siguiente:
- ¿Son todos los términos no negativos o no positivos? \(\Rightarrow\) usa criterios para series de ese tipo.
- ¿Es absolutamente convergente? \(\Rightarrow\) la serie converge.
- ¿Se verifican las condiciones de Leibniz? \(\Rightarrow\) la serie converge.
Un ejemplo es \(\sum a_n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\). La serie de valores absolutos es \(\sum \frac{1}{n}\) que es la serie armónica con p=1, que sabemos que no es convergente. Atendiendo a las condiciones de Leibniz tenemos:
- \(\displaystyle \frac{1}{n}\) es decreciente, ya que \(\displaystyle \frac{1}{2}<\displaystyle \frac{1}{3}<\displaystyle \frac{1}{4}...\)
- \(\lim_{a \to \infty} \displaystyle \frac{1}{n}=0\)
Luego \(\sum a_n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) es convergente por el criterio de Leibniz.
