Series de términos positivos y negativos

Si $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es una sucesión con términos positivos y negativos, se puede considerar en su lugar la sucesión $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ cuyos términos son todos no negativos.

La serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ es absolutamente convergente si la serie $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$. Más formalmente, la sucesión $\{a_n\}$ es absolutamente sumable si la sucesión $\{|a_n|\}$.

(nota: Esta definición está extraída textualmente de Calculus. Spivak. 2º Ed.)

Por ejemplo sea $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ la serie no negativa que se optiene al aplicar componer con el valor absoluto es  $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ que se trata de una serie armónica generalizada con p=2 $\Rightarrow$ converge. 

Sin embargo sea esta otra serie  $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ si aplicamos el valor absoluto obtenemos  $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ que se trata de una serie armónica, esta vez con p=1, que sabemos que diverge. Sin embargo, la implicación de este teorema es solo en un sentido, es decir, si la serie de $|a_n|$ no converge, no se puede concluir que la serie diverja. De hecho, esta serie efectivamente converge, atendiendo al criterio de Leibniz