La serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) es absolutamente convergente si la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\). Más formalmente, la sucesión \(\{a_n\}\) es absolutamente sumable si la sucesión \(\{|a_n|\}\).
(nota: Esta definición está extraída textualmente de Calculus. Spivak. 2º Ed.)
Por ejemplo sea \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) la serie no negativa que se optiene al aplicar componer con el valor absoluto es \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) que se trata de una serie armónica generalizada con p=2 \(\Rightarrow\) converge.
Sin embargo sea esta otra serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) si aplicamos el valor absoluto obtenemos \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) que se trata de una serie armónica, esta vez con p=1, que sabemos que diverge. Sin embargo, la implicación de este teorema es solo en un sentido, es decir, si la serie de \(|a_n|\) no converge, no se puede concluir que la serie diverja. De hecho, esta serie efectivamente converge, atendiendo al criterio de Leibniz
