Criterios de convergencia para series de términos positivos

Criterio de la integral

Supongamos que $f(x):[1,\infty)\to\mathbb{R}$ es:

•  positiva, es decir $f(x)>0\;\forall x \in [0,\infty)$
• decreciente, es decir $f'(x)>0 \;\forall x \in [0,\infty)$
• y continua, es decir $\forall x_0\in (0,\infty) \exists \displaystyle \lim_{x\to x_0}$

Si se cumplen estas condiciones se puede afirmar que:

$$\boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \mbox{  es convergente}\Longleftrightarrow \displaystyle\int_1^\infty f(x) dx \mbox{  es convergente}}$$

Como ejemplo, este es el criterio adecuado para analizar la convergencia de la serie armónica generalizada:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ La integral de la función que interpola este tipo de sucesiones converge $\Longleftrightarrow p>1$. Pruebe a realizar la integral impropia.

 (Nota, el lo mismo que una integral definida, salvo que en lugar de hacer $F(b)-F(a)$ hace $\displaystyle \lim_{x \to \infty}F(x)-F(1)$).

Criterio de mayoración

Supongamos que $0\leq a_n\leq b_n \forall n \in \mathbb{N}$ entonces:

$$\boxed{ \sum b_n \mbox{ convergente} \Rightarrow \sum a_n \mbox{ convergente}}$$

$$\boxed{ \sum a_n \mbox{ divergente} \Rightarrow \sum b_n \mbox{ divergente}}$$

Criterio de comparación por cociente

Si $a_n \geq 0 \forall n \in \mathbb{N}, b_n>0 \forall n \in \mathbb{N}$ y $\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\xrightarrow[n]\, L\in \mathbb{R}-\{0\} \Rightarrow \sum a_n \mbox{ y } \sum b_n$ tienen el mismo carácter. Es decir, si uno converge, el otro también. Por ejemplo:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2n+1)}}$ la podemos comparar con $\displaystyle \frac{1}{n}$ que sabemos que diverge. Si el limite del cociente $\in \mathbb{R}-\{0\}$ entonces podemos afirmar que la primera serie converge, ya que las 2 tendrán el mismo carácter. Así pues $\displaystyle \lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n(2n+1)}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=L \in \mathbb{R}-\{0\}$ por lo tanto, podemos asegurar que la primera serie diverge.

Criterio D'Alambert (del cociente)

Si $a_n>0  \forall n \in \mathbb{N} \mbox{ y } \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L$ se cumple que

• Si $L<1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ converge }$
• Si $L>1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ diverge }$
• Si $L=1\mbox{ la serie } \mbox{ la prueba no es concluyente }$

Ejemplo:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ todos los términos son positivos, veamos que pasa con $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$ es decir $\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\xrightarrow[ \;n\;]\,0 \mbox{ como }L<1 \Rightarrow \mbox{ la serie converge}$.

Criterio de la raíz de Cauchy

Si $a_n >0  \forall n \in \mathbb{N} \mbox{ y } \displaystyle \sqrt[n]{an}\xrightarrow[\;n\to\infty]\,L$ entonces:

• Si $L<1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ converge }$
• Si $L>1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ diverge }$
• Si $L=1\mbox{ la serie } \mbox{ la prueba no es concluyente }$

Ejemplo:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n+1}{2n-1}\right)^n$ La sucesión converge a 0 $\displaystyle \sqrt[n]{an}=\frac{n+1}{2n-1}\to L<1\to\mbox{ la serie convege }$