Criterio de la integral
- positiva, es decir \(f(x)>0\;\forall x \in [0,\infty) \)
- decreciente, es decir \(f'(x)>0 \;\forall x \in [0,\infty) \)
- y continua, es decir \(\forall x_0\in (0,\infty) \exists \displaystyle \lim_{x\to x_0}\)
Si se cumplen estas condiciones se puede afirmar que:
$$\boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \mbox{ es convergente}\Longleftrightarrow \displaystyle\int_1^\infty f(x) dx \mbox{ es convergente}} $$
Como ejemplo, este es el criterio adecuado para analizar la convergencia de la serie armónica generalizada:
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) La integral de la función que interpola este tipo de sucesiones converge \(\Longleftrightarrow p>1\). Pruebe a realizar la integral impropia.
(Nota, el lo mismo que una integral definida, salvo que en lugar de hacer \(F(b)-F(a)\) hace \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}F(x)-F(1)\)).
Criterio de mayoración
Supongamos que \(0\leq a_n\leq b_n \forall n \in \mathbb{N}\) entonces:
$$\boxed{ \sum b_n \mbox{ convergente} \Rightarrow \sum a_n \mbox{ convergente}}$$
$$\boxed{ \sum a_n \mbox{ divergente} \Rightarrow \sum b_n \mbox{ divergente}}$$
Si \(a_n \geq 0 \forall n \in \mathbb{N}, b_n>0 \forall n \in \mathbb{N}\) y \(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\xrightarrow[n]\, L\in \mathbb{R}-\{0\} \Rightarrow \sum a_n \mbox{ y } \sum b_n\) tienen el mismo carácter. Es decir, si uno converge, el otro también. Por ejemplo:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2n+1)}}\) la podemos comparar con \(\displaystyle \frac{1}{n}\) que sabemos que diverge. Si el limite del cociente \(\in \mathbb{R}-\{0\}\) entonces podemos afirmar que la primera serie converge, ya que las 2 tendrán el mismo carácter. Así pues \(\displaystyle \lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n(2n+1)}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=L \in \mathbb{R}-\{0\}\) por lo tanto, podemos asegurar que la primera serie diverge.
Si \(a_n>0 \forall n \in \mathbb{N} \mbox{ y } \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L \) se cumple que
Criterio de comparación por cociente
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2n+1)}}\) la podemos comparar con \(\displaystyle \frac{1}{n}\) que sabemos que diverge. Si el limite del cociente \(\in \mathbb{R}-\{0\}\) entonces podemos afirmar que la primera serie converge, ya que las 2 tendrán el mismo carácter. Así pues \(\displaystyle \lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n(2n+1)}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=L \in \mathbb{R}-\{0\}\) por lo tanto, podemos asegurar que la primera serie diverge.
Criterio D'Alambert (del cociente)
- Si \(L<1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ converge }\)
- Si \(L>1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ diverge }\)
- Si \(L=1\mbox{ la serie } \mbox{ la prueba no es concluyente }\)
Ejemplo:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) todos los términos son positivos, veamos que pasa con \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\) es decir \(\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\xrightarrow[ \;n\;]\,0 \mbox{ como }L<1 \Rightarrow \mbox{ la serie converge}\).
Criterio de la raíz de Cauchy
Si \(a_n >0 \forall n \in \mathbb{N} \mbox{ y } \displaystyle \sqrt[n]{an}\xrightarrow[\;n\to\infty]\,L\) entonces:
- Si \(L<1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ converge }\)
- Si \(L>1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ diverge }\)
- Si \(L=1\mbox{ la serie } \mbox{ la prueba no es concluyente }\)
Ejemplo:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n+1}{2n-1}\right)^n\) La sucesión converge a 0 \( \displaystyle \sqrt[n]{an}=\frac{n+1}{2n-1}\to L<1\to\mbox{ la serie convege }\)
