Algunas ocurrencias con el número \(\Phi\)
El número \(\Phi\) (Phi) es un escalar \(\in \mathbb{R-Q}\) que se presenta como ratio de proporción reiteradas veces en la naturaleza.
Fuente: etereaestudios
copyright Cristóbal Vila
Fuente: etereaestudios
copyright Cristóbal Vila
Criterios de convergencia para series de términos positivos
Criterio de la integral
- positiva, es decir \(f(x)>0\;\forall x \in [0,\infty) \)
- decreciente, es decir \(f'(x)>0 \;\forall x \in [0,\infty) \)
- y continua, es decir \(\forall x_0\in (0,\infty) \exists \displaystyle \lim_{x\to x_0}\)
Si se cumplen estas condiciones se puede afirmar que:
$$\boxed{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \mbox{ es convergente}\Longleftrightarrow \displaystyle\int_1^\infty f(x) dx \mbox{ es convergente}} $$
Como ejemplo, este es el criterio adecuado para analizar la convergencia de la serie armónica generalizada:
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\) La integral de la función que interpola este tipo de sucesiones converge \(\Longleftrightarrow p>1\). Pruebe a realizar la integral impropia.
(Nota, el lo mismo que una integral definida, salvo que en lugar de hacer \(F(b)-F(a)\) hace \(\displaystyle \lim_{x \to \infty}F(x)-F(1)\)).
Criterio de mayoración
Supongamos que \(0\leq a_n\leq b_n \forall n \in \mathbb{N}\) entonces:
$$\boxed{ \sum b_n \mbox{ convergente} \Rightarrow \sum a_n \mbox{ convergente}}$$
$$\boxed{ \sum a_n \mbox{ divergente} \Rightarrow \sum b_n \mbox{ divergente}}$$
Si \(a_n \geq 0 \forall n \in \mathbb{N}, b_n>0 \forall n \in \mathbb{N}\) y \(\displaystyle \frac{a_n}{b_n}\xrightarrow[n]\, L\in \mathbb{R}-\{0\} \Rightarrow \sum a_n \mbox{ y } \sum b_n\) tienen el mismo carácter. Es decir, si uno converge, el otro también. Por ejemplo:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2n+1)}}\) la podemos comparar con \(\displaystyle \frac{1}{n}\) que sabemos que diverge. Si el limite del cociente \(\in \mathbb{R}-\{0\}\) entonces podemos afirmar que la primera serie converge, ya que las 2 tendrán el mismo carácter. Así pues \(\displaystyle \lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n(2n+1)}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=L \in \mathbb{R}-\{0\}\) por lo tanto, podemos asegurar que la primera serie diverge.
Si \(a_n>0 \forall n \in \mathbb{N} \mbox{ y } \displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L \) se cumple que
Criterio de comparación por cociente
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n(2n+1)}}\) la podemos comparar con \(\displaystyle \frac{1}{n}\) que sabemos que diverge. Si el limite del cociente \(\in \mathbb{R}-\{0\}\) entonces podemos afirmar que la primera serie converge, ya que las 2 tendrán el mismo carácter. Así pues \(\displaystyle \lim_{n} \frac{n}{\sqrt{n(2n+1)}}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}=L \in \mathbb{R}-\{0\}\) por lo tanto, podemos asegurar que la primera serie diverge.
Criterio D'Alambert (del cociente)
- Si \(L<1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ converge }\)
- Si \(L>1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ diverge }\)
- Si \(L=1\mbox{ la serie } \mbox{ la prueba no es concluyente }\)
Ejemplo:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) todos los términos son positivos, veamos que pasa con \(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}\) es decir \(\displaystyle \frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}\xrightarrow[ \;n\;]\,0 \mbox{ como }L<1 \Rightarrow \mbox{ la serie converge}\).
Criterio de la raíz de Cauchy
Si \(a_n >0 \forall n \in \mathbb{N} \mbox{ y } \displaystyle \sqrt[n]{an}\xrightarrow[\;n\to\infty]\,L\) entonces:
- Si \(L<1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ converge }\)
- Si \(L>1\mbox{ la serie } \sum a_n \mbox{ diverge }\)
- Si \(L=1\mbox{ la serie } \mbox{ la prueba no es concluyente }\)
Ejemplo:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{n+1}{2n-1}\right)^n\) La sucesión converge a 0 \( \displaystyle \sqrt[n]{an}=\frac{n+1}{2n-1}\to L<1\to\mbox{ la serie convege }\)
Series de términos positivos y negativos
Si \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) es una sucesión con términos positivos y negativos, se puede considerar en su lugar la sucesión \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\) cuyos términos son todos no negativos.
La serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) es absolutamente convergente si la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\). Más formalmente, la sucesión \(\{a_n\}\) es absolutamente sumable si la sucesión \(\{|a_n|\}\).
La serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n\) es absolutamente convergente si la serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} |a_n|\). Más formalmente, la sucesión \(\{a_n\}\) es absolutamente sumable si la sucesión \(\{|a_n|\}\).
(nota: Esta definición está extraída textualmente de Calculus. Spivak. 2º Ed.)
Por ejemplo sea \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}\) la serie no negativa que se optiene al aplicar componer con el valor absoluto es \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) que se trata de una serie armónica generalizada con p=2 \(\Rightarrow\) converge.
Sin embargo sea esta otra serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) si aplicamos el valor absoluto obtenemos \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) que se trata de una serie armónica, esta vez con p=1, que sabemos que diverge. Sin embargo, la implicación de este teorema es solo en un sentido, es decir, si la serie de \(|a_n|\) no converge, no se puede concluir que la serie diverja. De hecho, esta serie efectivamente converge, atendiendo al criterio de Leibniz
Criterio de Leibniz para series alternadas
Series Alternadas de la forma \(\sum a_n=\sum (-1)^n b_n\) pueden ser analizadas según el criterio de Leibniz.
Sea \(\sum (-n)^n b_n \) una serie alternada, con \(b_n \geq \forall n\in\mathbb{N}\) que verifica:
- \(b_n\geq b_{n+1} \forall n \in \mathbb{N}\) es decir, que sea decreciente [si no se cumple, no se puede determinar nada].
- \(lim_{n\to\infty} b_n =0\) [necesario \(\forall\) serie convergente].
Si se verifica estas condiciones, se dice que la serie \(\sum a_n=\sum (-1)^n b_n\) es convergente.
Lo primero que tiene que venir a la cabeza cuando estudias series es lo siguiente:
- ¿Son todos los términos no negativos o no positivos? \(\Rightarrow\) usa criterios para series de ese tipo.
- ¿Es absolutamente convergente? \(\Rightarrow\) la serie converge.
- ¿Se verifican las condiciones de Leibniz? \(\Rightarrow\) la serie converge.
Un ejemplo es \(\sum a_n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\). La serie de valores absolutos es \(\sum \frac{1}{n}\) que es la serie armónica con p=1, que sabemos que no es convergente. Atendiendo a las condiciones de Leibniz tenemos:
- \(\displaystyle \frac{1}{n}\) es decreciente, ya que \(\displaystyle \frac{1}{2}<\displaystyle \frac{1}{3}<\displaystyle \frac{1}{4}...\)
- \(\lim_{a \to \infty} \displaystyle \frac{1}{n}=0\)
Luego \(\sum a_n=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\) es convergente por el criterio de Leibniz.
Richard Feynman
Richard Feynman (1918-1988), curioso por naturaleza, nos habla un poco sobre diversos temas, en la colección de vídeos que tienen a continuación.
En uno de estos vídeos cuenta como su padre, quien solía leerle la enciclopedia Británica, le inculcó una forma muy particular de entender el mundo; esto pasaba por saber diferenciar el conocimiento, con la verdadera comprensión. Pone como ejemplo la primera ley de newton, "la inercia". Sabemos que implicaciones tiene, como se manifiesta, y somos capaces de utilizar este conocimiento para predecir el funcionamiento de un sistema bajo análisis. Sin embargo, nadie sabe el porqué esto es así. Es decir, decimos que la inercia es una "ley experimental", y nos quedamos satisfechos con esta sentencia, sintiendo paz porque parece ser que no hay explicación subyacente.
En uno de estos vídeos cuenta como su padre, quien solía leerle la enciclopedia Británica, le inculcó una forma muy particular de entender el mundo; esto pasaba por saber diferenciar el conocimiento, con la verdadera comprensión. Pone como ejemplo la primera ley de newton, "la inercia". Sabemos que implicaciones tiene, como se manifiesta, y somos capaces de utilizar este conocimiento para predecir el funcionamiento de un sistema bajo análisis. Sin embargo, nadie sabe el porqué esto es así. Es decir, decimos que la inercia es una "ley experimental", y nos quedamos satisfechos con esta sentencia, sintiendo paz porque parece ser que no hay explicación subyacente.
Los nueve capítulos sobre el arte matemático
"...Es un libro de matemática. Su origen se remonta al período de la Dinastía Zhou y fue compilado por varias generaciones de escribas entre los siglos II y I a.C. Es uno de los libros de matemáticas más antiguos de China, después de Suàn shù shū yZhou Bi Suan Jing (compilados durante el período de laDinastía Han y hasta el siglo II d.C.). El enfoque matemático está centrado en hallar los métodos más generales de resolución de problemas, en contraste con la idea común de los matemáticos antiguos griegos, que tendían a deducir proposiciones a partir de un conjunto inicial de axiomas.
El libro está dispuesto en forma tal que enuncia un problema primero, y después le sigue otro enunciado con la solución y una explicación del proceso que condujo a tal solución. Comentado en el siglo III por Liu Hui..."
- 方田 Fangtian - Campos rectangulares. Áreas de campos de diversa formas; Numeración con varillas.
- 粟米 Sumi - Mijo y arroz. Intercambio de bienes a tarifas distintas.
- 衰分 Cuifen - Distribución proporcional. Repartición de bienes y dinero según el principio de proporcionalidad.
- 少廣 Shaoguang - El menor largo. Numeración con varillas con números mixtos; extracción de raíces cuadradas y cúbicas; dimensión, área y volumen del círculo y la esfera.
- 商功 Shanggong - Reflexiones sobre los trabajos. Volumen de sólidos de varias formas.
- 均輸 Junshu - Impuesto equitable. Problemas de proporción más avanzados.
- 盈不足 Yingbuzu - Excedente y déficit. Problemas lineales resueltos utilizando el principio conocido más tarde en Occidente como el Método de la regla falsa.
- 方程 Fangcheng - La disposición rectangular. Numeración con varillas, problemas con múltiples variables, resueltos según un principio similar a la eliminación de Gauss
- 勾股 Gougu - Base y altura. Problemas sobre el principio conocido en Occidente como el teorema de Pitágoras.
======================================================
A menudo me doy cuenta de lo poco que he oído hablar al respecto de la influencia que han experimentado las matemáticas desde china, japón, corea... Que los Árabes son clave en el desarrollo y la propia concepción del Álgebra por ejemplo, o la influencia de la geometría de los matemáticos indios, es algo más conocido. ¿Pero qué aportes recibimos desde lugares todavía más orientales?
¿Y porqué 'x'?
En el vídeo de a continuación, Terry Moore cuenta de donde viene el uso de la 'x' como símbolo para expresar una incógnita.
Parece ser que los árabes utilizaban la palabra /shai/ شيء , que viene a significar "algo", y es la letra ش shin la que utilizaban para definir la incógnita en sus escritos. Éstos, entraron a Europa a través de España, y fueron nuestros arabístas los que se encargaron de traducir los textos a una lengua Europea. Frente a la inexistencia de una letra para representar el sonido `SH`, emplearon la letra griega `ji` χ que más tarde, se latinizó como la letra 'x'.
Así pues, ¡ la letra incógnita por excelencia 'x' es x porque en Español no hay ninguna letra que suene `SH` !
Fuente: TED: Ideas worth spreading
Revisado por David Macias
Parece ser que los árabes utilizaban la palabra /shai/ شيء , que viene a significar "algo", y es la letra ش shin la que utilizaban para definir la incógnita en sus escritos. Éstos, entraron a Europa a través de España, y fueron nuestros arabístas los que se encargaron de traducir los textos a una lengua Europea. Frente a la inexistencia de una letra para representar el sonido `SH`, emplearon la letra griega `ji` χ que más tarde, se latinizó como la letra 'x'.
Así pues, ¡ la letra incógnita por excelencia 'x' es x porque en Español no hay ninguna letra que suene `SH` !
Fuente: TED: Ideas worth spreading
Revisado por David Macias
NASA: El campo magnético de la tierra
En este vídeo, muestran un importante efecto del campo magnético de la tierra: Un escudo protector de vientos solares. Nuestro planeta hermano, Venus, tiene campo magnético muy débil, debido a su baja rotación (un día de Venus equivalen a 224 días terrestres). Esto provoca que los frentes impacten directamente, creando nubes toxicas de ácido sulfúrico, al combinarse con la atmósfera.
En casa sin embargo, la mayor parte de la radiación es expulsada por el campo magnético, generado en el centro del planeta. Otra parte es reflejada por las nueves el hielo y la nieve. Y la porción que absorbe la tierra, genera corrientes, en constante movimiento, distribuyendo el calor absorbido al rededor de la tierra, determinando el clima planetario.
Fuente: NASA
En casa sin embargo, la mayor parte de la radiación es expulsada por el campo magnético, generado en el centro del planeta. Otra parte es reflejada por las nueves el hielo y la nieve. Y la porción que absorbe la tierra, genera corrientes, en constante movimiento, distribuyendo el calor absorbido al rededor de la tierra, determinando el clima planetario.
Fuente: NASA
"Inspitrations" Una animación de Cristóbal Vila
Vila, desde Zaragoza y en su web Eterea Estudios, comenta que se inspiró en M.C.Escher para hacer esta animación. En este vídeo se ven diversos objetos relacionados con las matemáticas y los matemáticos... Mosaicos varios, optica, fractales, la historia del montón de trigo y el ajedrez, algunas fotos de matemáticos y escritores ilustres... Ciertamente, "Inspitations" es un buen nombre para esta obra.
fuente: Gaussianos
Vi Hart, la amiga de los números y de las ondas sonoras.
Lo que se lee en su blog sobre esta enigmática criatura, que se etiqueta como Mathemusician es:
No te pierdas sus vídeos. La lista de reproducción en youtube es de más de 45, con unas 14·10⁶ visitas!! casi nada!! Rebosa arte por cada poro! y además, la tenemos trabajando con Khan Academy!
Si Tycho Brahe pudiese ver esto...
 |
| Modelo del sistema solar de Tycho Brahe |
Tycho Brahe, astrónomo Danés, considerado el más grande observador del cielo en el periodo anterior a la invención del telescopio.
Con el favor del rey Federico II de Dinamarca, mandó contruir dos palacios, Uraniborg y Stjeneborg. El primero llegó a funcionar como un verdadero instituto de investigación, que atraía a numerosos estudiantes. Uno de ellos, y tal vez el más grande fue Johannes Kepler.
 |
| Observatorio de Stjeneborg |
Brahe, mantenía que los planetas, giraban al rededor del sol, pero que era este el que giraba al rededor de la tierra, ya que consideraba que si esta se moviera, las estrellas tendrían que tener un movimiento aparente. Hoy en día se sabe que de hecho lo tienen. Esta visión del cosmos, fue una transición entre el sistema geocéntrico de Ptolomeo, y el heliocéntrico de Nicolás Copernico.
 |
| Palacio de Uraniborg |
Curiosamente, en el vídeo que podemos ver más abajo, se ve cómo efectivamente, el sol gira al rededor de la tierra! Sí, después de todo, depende del sistema de referencia que tome uno. En el caso del vídeo, se trata de un satélite geoestacionario.
Salud Señor Brahe!
(Imagen desde Elektro-L, primer satelite meteorológico geoestacionario ruso de nueva generación, el )
Libre Projects
El enlace de la imagen, le redirige a la página Libre Projects.net, donde se lista un buen número de aplicaciones de código libre.
Mechanical Principles(1930)
Un estracto de la obra de Ralph Steiner, Mechanical Principles (1930), un corto-metraje basado en distintas combinaciones de engranajes que dan lugar a un buen repertorio de imágenes curiosas. El montaje del vídeo es de un usuario de Youtube, que le solapa musica.
De lo pequeño a lo no tan pequeño
Esta es una sorprendente animación interactiva, que muestra en escala distintos objetos del Universo. Desde el nucleo de un átomo de hidrógeno, hasta los bordes del Universo observable.
The Universe made possible by Number Sleuth
fuente: XatacaCiencia
The Universe made possible by Number Sleuth
fuente: XatacaCiencia
Juan Gómez Hinestrosa, en su web personal, con un diseño muy majo, publica esta entrada de cómo orientar las parabólicas en España. Hace un repaso al Azimut, el Cenit y la polarización, ofreciendo tablas con estos datos para las distintas provincias de nuestra Geografía.
Por lo visto, tenemos dos satelites, el Astra, y el Hispasat. Es curioso mirar a los tejados y percatarse, como efectivamente, al menos en mi barrio, todas las parabolicas se pueden agrupar en 2 orientaciones.
Nuevo amigo de Gits-Teleco
Desde el MIT una vez más, se divulga esta colección de vídeos del Profesor Herbert Gross, donde se hace un repaso a los fundamentos matemáticos, de una forma muy interesante, clara y concisa. Formato Mundo Viejuno! ¿Utiliza tizas negras, o son rojas y con el blanco y negro parecen negras?
Suscribirse a:
Entradas (Atom)